ММФ/4 семестр 2011/12 уч. г.

Материал из Malykh.

Общие сведения

Курс:	Второй
Преподаватель:	Малых М. Д.
Поддержка в сети:	http://malykh.a.wiki-site.com (статья "ММФ") http://malykhmd.narod.ru/FNM/mmph.pdf (Еженедельно обновляемые комментарии к курсу) http://malykhmd.narod.ru/FNM/Maple.zip
Аннотация	Курс читается в 4-ом семестре после курса математического анализа. Объем курса — 54 часа. На лекции отводится 28 часов, на практические занятия – 26 часов.
ГОСТ:	Линейные уравнения с частными производными второго порядка, их классификацию, характеристики, приведение уравнений к каноническому виду, уравнения гиперболического, параболического и эллиптического вида, корректность краевых задач, формула Даламбера, метод Фурье, гармонические функции, понятие об интегральных уравнениях, приложение уравнений математической физики к задачам колебаний, распространения тепла, диффузии и к другим физическим задачам.

Программа

Уравнения колебаний и теплопроводности на отрезке. -- 5 недели

1. Задача о колебании струны, ее решение методом Фурье... СБК, 1.1.2, 7.4-6
2. Понятие о теории музыкальных инструментов... ТС, 1-ое прил.
3. Начально-краевая задача для уравнения колебаний на отрезке в общем виде ... 7.1
4. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на отрезке, физический смысл условий 3-х родов... СБК, 1.2, 6.1-4

Уравнения колебаний и теплопроводности на прямой. -- 1 неделя

1. Уравнение колебаний на прямой, формула Даламбера... СБК 7.7
2. Уравнение теплопроводности на прямой, интеграл Пуассона ... СБК, 6.7

Уравнение Лапласа в 2d --- 3 недели

1. Три краевые задачи для уравнения Лапласа, их интерпретация на примере задачи о стационарном распределении температуры в теле. Принцип максимума. Теоремы о единственности и существовании решения. ... СБК, 5.1-5.2
2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике и круге ... СБК, 5.5
3. Понятие о методе конечных элементов (*)

Задачи мат. физики в ограниченных двумерных областях -- 4 недели

1. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные колебания мембран, фигуры Хладни. Собственные значения круга и прямоугольника, функции Бесселя
2. Общая схема метода Фурье решения начально-краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности в ограниченных двумерных областях. Роль теоремы Стеклова в обосновании метода Фурье и ее физический смысл. Корректность постановки задач мат. физики... СБК, 3.1-5
3. Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны ... БК, 6.1, № 5

Дополнительные главы ММФ

1. Классификация уравнений в частных производных второго порядка ... СБК, 2.1-2
2. Сингулярные задачи на собственные значения на примере уравнения Шредингера для атома водорода. Обзор специальных функций, необходимых для его решения... ТС, последнее прил.

Литература

[СБК] Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физики. Подойдет любое издание, напр., М.: «Наука», 2004 г.

[БК] Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физики. Изд-во МГУ, 1994.

Дополнительная

[ТС] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Подойдет любое издание, напр., 6-е изд. М., Изд-во МГУ, 1999.