Малых М.Д.: Дифференциальные уравнения и абелевы интегралы

Материал из Malykh.

Спецкурс для аспирантов, 48 часов учебной нагрузки (весенний семестр)

Задача курса – познакомить с теорией многозначных аналитических функций, эллип-тических и абелевых интегралов, в их приложениях к теории дифференциальных уравне-ний и задачи многих тел. При этом особое внимание уделено изложению классических работ Вейерштрасса и Пенлеве.

[править]

Программа курса

I. Аналитическая теория дифференциальных уравнений.

Маятник Пенлеве как пример физической задачи, не имеющей решения. Локальная теория Коши: теорема Коши о существовании и Пенлеве о единственности. Теорема Реллиха о целых решениях.

Глобальная теория Вейерштрасса и Пенлеве рациональных дифференциальных уравнений. Аналитические функции как решения задачи Коши. Многозначные аналитические функции, их ветви и особые точки. Теоремы Пенлеве об особых точках в аффинной и проективной форме.

Аналитическая теория задачи многих тел. Теоремы о столкновении тел. Регуляризующее преобразование в случае простого столкновения по Бурде. Решение задачи трех тел в виде рядов Зундмана и его критика.

II. Теория алгебраических функций и абелевых интегралов.

Алгебраические функции и кривые. Локальная униформизация алгебраических кри-вых. Теория главной функции. Жанр алгебраической кривой.

Абелевы интегралы. Разложение произвольного интеграла на сумму интегралов трех родов и алгебраической функции. Абелевы интегралы 1-3 го рода, их характеристические свойства и периоды. Геометрические следствия.

III. Алгебраическая теория дифференциальных уравнений.

Алгебраические дифференциальные уравнения, нормальная форма Вейерштрасса. Распространение на них теорем Пенлеве. Решение как функция констант: теорема Пикара и контрпример Пенлеве. Задача Фукса.

Уравнения, разрешимые в конечном виде. Задача Пенлеве об отыскании и интегриро-вании всех дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от констант алгебраически. Ее связь с теорией групп бирациональных преобразований алгебраических многообразий.

[править]