Малых М.Д.: спецсеминар для студентов 502 группы

Материал из Malykh.

Общие сведения

Название спецкурса:	Аналитическая теория дифференциальных уравнений, 36 часов
Преподаватель:	Малых М. Д.
Поддержка в сети:	http://malykh.a.wiki-site.com (статья "Малых М.Д.: спецсеминар для студентов 502 группы")
Аннотация:	Спецкурс для студентов 5 курса. В курсе изложены классические результаты об аналитических свойствах решений дифференциальных уравнений общего вида и уравнений движения задачи многих тел. При изложении особое внимание уделено классическим работам Вейерштрасса и Пенлеве.

Программа курса

Решения в виде степенного ряда. Локальная теорема Коши. Теорема Пенлеве о единственности решения. Теорема Реллиха о целых частных решениях.

Понятие полной аналитической функции по Вейерштрассу. Однозначные аналитические функции и их особенности. Пример непродолжаемого рядя. Многозначные аналитические функции и их ветви. Теорема Пуанкаре-Вольтерра. Теорема о монодромии. Разрезы на плоскости.

Конечнозначные функции. Ряды Пюизо. Описание многозначности функций при помощи групп Галуа. Радикалы и алгебраические функции, теорема Абеля. Алгеброидные функции и гиперэллиптические интегралы.

Линейные дифференциальные уравнения. Теорема Фукса и ее применение для получения явных формул. Абрис теории сферических функций.

Общее решение нелинейного дифференциального уравнения как аналитическая функция, сложности подсчета числа ветвей. Подвижные особые точки нелинейных дифференциальных уравнений. Две теоремы Пенлеве.

Задача многих тел. Теоремы Вейерштрасса и Пенлеве об аналитических свойствах решения задачи n тел. Регуляризирующее преобразование по Бурде и решение Зундмана задачи трех тел.

Уравнения, разрешимые в «конечном виде», и различные подходы к их классификации.

Общее решение как функция независимой переменной. Свойство Пенлеве и тест Пенлеве на примере уравнения первого порядка с рациональной правой частью. Трудности теории, пример Шази.

Общее решение как функция констант. Задача Пенлеве об отыскании всех дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от констант алгебраически.

Рекомендуемая литература

1. Голубев В.В. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. М.-Л., 1950
2. Зигель К. Лекции по небесной механики. М.-Ижевск, 2003
3. Малых М.Д. Основания аналитической теории дифференциальных уравнений, 2003-2010.