Математический анализ для студентов ФНМ/3-ой семестр 2011-12 уч. г.

Материал из Malykh.

Общие сведения

Курс:	Второй
Преподаватель:	Малых М. Д.
Поддержка в сети:	http://malykh.a.wiki-site.com (статья "Математический анализ для студентов ФНМ")
Аннотация	Курс математического анализа читается студентам ФНМ в течении 3-х семестров.
ГОСТ:	Свойства множеств действительных и комплексных чисел, теория пределов, свойства непрерывных функций одной и нескольких переменных, дифференцируемые функции, формула Тейлора, методы исследования функций и построения графиков, задачи на экстремум, формулы и методы неопределенного интегрирования, определенные интегралы, формула Ньютона-Лейбница, кратные, криволинейные, поверхностные интегралы, несобственные интегралы, интегралы с параметром, числовые ряды, функциональные ряды, в том числе степенные и тригонометрические ряды, простейшие понятия функционального анализа, основные понятия и методы математического анализа в прикладных задачах.

[править]

Программа

Нед.	Тема
Криволинейные интегралы
1	Плоские кривые ... 223-226 Длина плоской кривой ... 330-331 Криволинейные интегралы первого типа, вычисление массы кривой ... 543-545
2	Криволинейные интегралы второго типа, вычисление работы силы вдоль пути и потока через контур ... 546-549, 553-554 Обобщение на случай 3-х измерений
Двойные интегралы
3	Площадь и объем. Определение двойного интеграла и его свойства... 586-590, 592* Сведение двойного интеграла к повторному ... 594-599 Отступление: интегрирование и дифференцирование под знаком интеграла ... 507-508
4	Формула Грина ... 600-602
5	Преобразование плоских областей. Определитель Якоби и локальные свойства преобразования ... 603-604** Замена переменных в двойном интеграле ... 605-611
6	Контрольная работа № 1.
Поверхностные интегралы
6b	Поверхность и способы ее задания, вектор нормали ... 227-229, 234 Площадь поверхности, пример Шварца ... 623-626
7	Поверхностные интегралы первого типа: определение и сведение к двойному интегралу ... 630-633
8	Сторона поверхности, лист Мебиуса ... 618-621 Поток вектора через поверхность (поверхностные интегралы второго типа) ... 634-635 Формула Стокса ... 639-640
Тройные интегралы
9	Тройной интеграл: определение, сведение к повторному и замена переменной ... 642..646, 648-650, 661-662(***)
10	Формула Гаусса-Остроградского ... 651-654 Элементы векторного анализа ... 664..669
11	Контрольная работа № 2
Функциональные ряды
11b	Равномерно сходящиеся ряды: признак Вейерштрасса, почленный переход к переделу, почленное интегрирование и дифференцирование рядов ... 429-435
12	Степенные ряды: их промежутки сходимости и свойства ... 379-380, 437-438 Аналитические функции и их разложение в ряд Тейлора... [МАИ], введ., 2-3 Ряды для элементарных функций ... 403-408
13	Кусочно монотонные периодические функции и их разложение в ряд Фурье (2 леммы и признак Дирихле) ... 681-690 Явление Гиббса ... 700

[править]

Примечания

(*) Док-ва, аналогичные данным в одномерном случае, будут отданы на домашний разбор.

(**) Здесь будут изложены с док-вами факты теории неявных функций в применении к данному случаю, общий случай см. в 205-208.

[править]

Вопросы к коллоквиуму по темам № 1-2

Тема 1. Криволинейные интегралы

Определение плоской кривой, определение и способ вычисления касательного и нормального векторов ... 223, 230
Определение и способ вычисление длины плоской кривой ... 330
Определение и способ вычисление криволинейного интеграла первого типа ... 543-544
Определение и способ вычисление криволинейного интеграла второго типа ... 546-547
Вычисление работы силы вдоль пути и потока жидкости через контур ... 554
Условия независимости криволинейного интеграла (работы силы) от пути ... 555-559, 566 (1)

Тема 2. Двойные интегралы

Определение двойного интеграла и его свойства ... 588, 592
Вычисление объема ... 586
Сведение двойного интеграла к повторному ... 594, 596
Интегрирование и дифференцирование под знаком интеграла ... 507-508
Формула Грина ... 600
Выражение площади в криволинейных координатах (способ, основанный на формуле Грина) ... 605
Выражение площади в криволинейных координатах (геометрический способ) ... 607
Замена переменных в двойном интеграле ... 609

При чтении указанных пунктов из ФГМ следует иметь ввиду, как там вводятся понятия площади и объема (335-338 и 340-342), а также описывается замена переменных (603)

[править]

Экзаменационные материалы

Экзаменационный билет будет состоять из двух вопросов: практического и теоретического. По результатам семестра студент может быть освобожден от первого вопроса или от экзамена в целом. Первым вопросом будет предложено:

найти криволинейный интеграл 1-го или 2-го рода,
найти длину кривой,
найти работу силы вдоль пути,
найти поток через контур на плоскости или поверхность,
найти двойной или тройной интеграл путем сведения к повторному или заменой переменных,
найти поверхностный интеграл 1-го или 2-го типа путем сведения к двойному
найти объем или площадь поверхности тела, в т.ч. тела Вивиани,
доказать равномерную сходимость функционального ряда при помощи мажорантного признака Вейерштрасса,
разложить заданную периодическую в ряд Фурье и указать точки, в которых этот ряд сходится к функции на основании теоремы Дирихле.

При этом студент должен уметь сформулировать все используемые им при решении определения и теоремы. Вторым вопросом будет предложено доказать теорему или формулу из приведенного ниже списка.

Выражение длины плоской кривой через определенный интеграл ... 330-331
Сведение двойного интеграла к повторному ... 594, 596
Интегрирование и дифференцирование под знаком интеграла ... 507-508
Формула Грина ... 600
Замена переменных в двойном интеграле ... 605-607, 609
Пример Шварца ... 623
Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному интегралу ... 630-631
Формула Стокса ... 639-640
Формула Гаусса-Остроградского ... 651
Мажорантный признак равномерной сходимости (Вейерштрасса) ... 429-430
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов ... 433-435
Явление Гиббса ... 700

При это студент должен уметь определять все используемые им понятия, четко указывать, какие теоремы он использует в доказательстве, а какие следуют из доказываемой теоремы, приводить примеры, поясняющие необходимость тех или иных условий теоремы.

[править]